Ordinary Differential Equations

22 Nov 2022 - Gaomou XU

这段时间在码计算物理代码的时候被数值求解微分方程无情卡住，才发现我尽管在科研过程中已经接触了无数次微分方程， 写了很多代码（调了很多库）去求解，但从未系统学过微分方程，对很多概念完全不懂，有必要进行一个幼儿园级别的恶补。

我当初高数全翘的指导思想在于，我一臭化学的学这些乱七八糟的数学有什么用？ 现在想来，除非想当一个大脑生锈的纯搬砖工，不然无论是处理理论、实验还是工程问题，基础数学工具（尤其是基于数值分析的）都不可或缺。想要把一个系统分析透彻，就少不了合理的数学建模。 而微分方程为动态系统的分析提供了数学支持。 只要我们的研究兴趣聚焦在某个系统的连续演化上，那该系统沿某演化方向的演化趋势就可以用微分方程描述。 再笼统点，只要一个系统在变化，它肯定就会随时间的演化而演化，其随着时间推进的运动规律就值得研究， 那最起码我们就需要写出其在时间方向的微分方程并求解。

在物理化学研究中，这种现象与体系是非常多的：

• 分子扩散
  • $\dfrac{\partial C}{\partial t}=D(\dfrac{\partial^2 C}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 C}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 C}{\partial z^2})$
  • $C(r,t)=A\dfrac{4\pi r^2}{(2\sqrt{\pi Dt})^3}e^{-r^2/4Dt}$
• 化学动力学
  • $-\dfrac{d \left[A\right]}{d t}=k_1\left[A\right]-k_2\left[B\right]$
  • $\leftA\right=\dfrac{\left[A\right]_0(k_2+k_1e^{-(k_1+k_2)t})}{k_1+k_2}$
• 分子振动
  • $m\dfrac{d^2x}{dt^2}=-kx$

为了研究这些问题，我们有必要学习一些微分方程的基础知识

定义和基本概念

• $y(x)$的 n 阶微分方程是 $y$ 及其 n 阶微分组成的方程
• $y(x,t)$有多个自变量，则为偏微分方程
• 微分方程的线性与否由方程中含 $y$ 的项线性与否决定
• 无初值条件的微分方程可得通解
  • 初值条件问题（已知同一点的n个n阶导取值）必可得特解
  • 边界条件问题（已知不同点的n阶导取值）未必得特解

一阶常微分方程

可分离一阶常微分方程

若某一阶常微分方程可改写为： \(\frac{dy}{dx}=\frac{g(x)}{h(y)}\) 则其可分离为互不相关的两项并分别积分，故称为可分离微分方程： \(\int h(y)dy=\int g(x)dx\)

线性一阶常微分方程

1. 将方程重写为如下形式（若不能则方程非线性）
   1. $\dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$
2. 两边同乘$e^{\int p(x)dx}$
   • $e^{\int p(x)dx}\dfrac{dy}{dx}+p(x)ye^{\int p(x)dx}=q(x)e^{\int p(x)dx}$
   • $\dfrac{d}{dx}(ye^{\int p(x)dx})=q(x)e^{\int p(x)dx}$
   • $\int d(ye^{\int p(x)dx})=\int dx q(x)e^{\int p(x)dx}$
   • $y=\int dx q(x)e^{\int p(x)dx}/e^{\int p(x)dx}$

化学动力学

• 半衰期：浓度降为初始值的一半所需的时间
• 弛豫时间：浓度降为初始值$e^{-1}=0.37$所需的时间

二阶常微分方程

\(y''(x)+k_1y'(x)+k_2y(x)+k_3=0\)

若$k_3=0$称为齐次 (homogeneous)，否则为非齐次（可求解）

线性齐次二阶微分方程

设解的形式为$e^{\alpha x}$，则 \(\alpha^2e^{\alpha x}+k_1\alpha e^{\alpha x}+k_2e^{\alpha x}=0\) \(e^{\alpha x}(\alpha^2+k_1\alpha+k_2)=0\)

因$e^{\alpha x}=0$的情况对应$x$趋于无限，令 \((\alpha^2+k_1\alpha+k_2)=0\) \(\alpha_{1,2}=\frac{-k_1\pm\sqrt{k_1^2-4k_2}}{2}\)

1. $k_1^2-4k_2>0$
   • 通解：$c_1e^{\alpha_1x}+c_2e^{\alpha_2x}$
2. $k_1^2-4k_2<0$
   • $\alpha_{1,2}=\dfrac{-k_1\pm i\sqrt{-k_1^2+4k_2}}{2}$
   • 通解：$c_1e^{\alpha_1x}+c_2e^{\alpha_2x}\rightarrow e^{kx}(a\cos(kx)+b\sin(kx))$
3. $k_1^2-4k_2=0$
   • $\alpha_1=\alpha_2=\dfrac{-k_1}{2}$
   • 通解（降阶法）：$(a+bx)e^{\alpha x}$

二阶微分方程的边界条件问题

具有非平凡解的方程：本征值和本征函数

二阶微分方程的级数解

函数的级数展开

Laguerre 方程/多项式（氢原子）

\(xy''+(1-x)y'+ny=0\) \(L_0=a_0, L_1=a_0(1-x), a_0=n!\)

主要内容参考自 Mathematical Methods in Chemistry, Marcia Levitus